Sección I
De los reales al plano: por qué necesitamos un número nuevo y cómo se ve geométricamente.
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Con los reales resolvemos $x^2 = a$ siempre que $a \ge 0$. Pero el cuadrado de todo real es positivo, así que $x^2 = -1$ no tiene solución real.
Construimos una extensión de $\mathbb{R}$ donde sí la tenga: la llamamos $i$.
$$ i^2 = -1 $$
Las operaciones se definen para que valgan las reglas de siempre (con $i^2=-1$):
$$ (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i $$
$$ (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i $$
Como $z=a+bi$ queda determinado por el par $(a,b)$, lo representamos como el punto de coordenadas $(a,b)$ — su afijo — o como el vector desde el origen.
La parte real $a$ es el cateto horizontal; la imaginaria $b$, el vertical. El módulo $\rho$ es el largo del vector y el argumento $\varphi$, su ángulo. En el simulador que sigue podés explorarlo.
Sumar complejos es sumar vectores: $z+w$ es la diagonal del paralelogramo de lados $z$ y $w$.
Restar es sumar el opuesto: $z-w = z+(-w)$. Reflejamos $w$ para obtener $-w$ (azul punteado) y aplicamos la regla del paralelogramo; el resultado $z-w$ queda en verde.
Se repiten en ciclos de cuatro, porque multiplicar por $i$ es girar $\tfrac{\pi}{2}$ (un cuarto de vuelta):
$$ i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,\dots $$
Para una potencia cualquiera, mirá el resto de dividir el exponente entre 4.