Sección II

Binómica y polar

Un mismo complejo, dos formas de describirlo: por sus coordenadas $(a,b)$ o por su tamaño y dirección $(\rho,\varphi)$.

Otra forma de ubicar a z

En la Sección I ubicamos $z=a+bi$ por sus coordenadas $(a,b)$. Pero también podemos decir a qué distancia del origen está y en qué dirección.

Definición El módulo $\rho=|z|$ es la distancia del afijo al origen. El argumento $\varphi$ es el ángulo que forma el vector con el semieje real positivo. El argumento que cae en $(-\pi,\pi]$ es el argumento principal $\mathrm{Arg}(z)$.

Se escribe en notación polar $z=\rho\angle\varphi$. ¿Cómo obtenemos $\rho$ y $\varphi$ a partir de $a$ y $b$? Con un triángulo.

De dónde salen $\rho$ y $\varphi$

El afijo, su sombra sobre el eje real ($a$) y la altura ($b$) forman un triángulo rectángulo. De ahí salen las dos cantidades:

a b ρ φ z
Catetos $a=\mathrm{Re}(z)$ (adyacente) y $b=\mathrm{Im}(z)$ (opuesto); hipotenusa $\rho$.
  • Módulo = hipotenusa, por Pitágoras:   $\rho=\sqrt{a^2+b^2}$.
  • Argumento, por trigonometría:   $\tan\varphi=\dfrac{b}{a}\ \Rightarrow\ \varphi=\mathrm{Arctg}\dfrac{b}{a}$.

Ojo con el cuadrante

El arcotangente solo devuelve ángulos en $(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})$ (mira solo $b/a$ y no distingue dónde está el afijo). Según el cuadrante hay que corregir:

  • $a>0$ (der.):   $\mathrm{Arg}(z)=\mathrm{Arctg}(b/a)$
  • $a<0,\ b>0$ (II):   $\mathrm{Arg}(z)=\mathrm{Arctg}(b/a)+\pi$
  • $a<0,\ b<0$ (III):   $\mathrm{Arg}(z)=\mathrm{Arctg}(b/a)-\pi$

El conversor de abajo ya aplica esta corrección: probá llevar $z$ al II o III cuadrante.

Multiplicar es girar y estirar

La magia de la forma polar: si $z_1=\rho\angle\varphi$ y $z_2=\mu\angle\psi$,

$$ z_1\cdot z_2 = (\rho\,\mu)\,\angle\,(\varphi+\psi) $$

Los módulos se multiplican y los argumentos se suman. Compruébalo en el simulador.