Sección III

Complejo conjugado

Cambiarle el signo a la parte imaginaria = reflejar el punto sobre el eje real. Simple, pero potentísimo.

Definición

Conjugado El conjugado de $z=a+bi$ es $\bar{z}=a-bi$. En polar, si $z=\rho\angle\varphi$ entonces $\bar{z}=\rho\angle(-\varphi)$: mismo módulo, argumento opuesto.

El afijo de $\bar z$ es el simétrico de $z$ respecto del eje real. Mirá cómo se refleja en el simulador.

Propiedades y división

$\overline{z+w}=\bar z+\bar w$,   $\overline{zw}=\bar z\,\bar w$,   $z+\bar z=2\,\mathrm{Re}(z)$,   y la estrella:   $z\,\bar z=|z|^2$.

Como $z\bar z$ es real, multiplicar por el conjugado del denominador permite dividir:

$$ \frac{2+3i}{1+i}=\frac{(2+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{5+i}{2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i $$

Conjuntos del plano

Muchas figuras se describen con una condición sobre $z$. Escribiendo $z=x+yi$ y operando, la condición se vuelve una ecuación en $x,y$.

En el simulador, elegí una condición y arrastrá el punto de prueba para ver qué afijos la cumplen.